المضاعف والقاسم المشترك

LCM اختصار لـ Least Common Multiple، وبالعربية المضاعف المشترك الأصغر. هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على كل الأعداد المعطاة. مضاعفات 4 هي 4، 8، 12، 16، 20… ومضاعفات 6 هي 6، 12، 18، 24… وأول عدد يظهر في القائمتين هو 12، فهو المضاعف المشترك الأصغر لهما.

GCD اختصار لـ Greatest Common Divisor، وبالعربية القاسم المشترك الأكبر، ويُسمى أحياناً HCF اختصاراً لـ Highest Common Factor. هو أكبر عدد يقسم جميع الأعداد المعطاة دون باقٍ. قواسم 12 هي 1، 2، 3، 4، 6، 12، وقواسم 18 هي 1، 2، 3، 6، 9، 18. والمشترك بينها 1، 2، 3، 6 — وأكبرها 6.

الفرق بينهما في الاتجاه: القاسم المشترك الأكبر ينزل إلى ما دون الأعداد فيبحث عمّا يقسمها، والمضاعف المشترك الأصغر يصعد فوقها فيبحث عمّا تقسمه هي. ولذلك يكون GCD دائماً أصغر من أصغر عدد لديك أو مساوياً له، ويكون LCM دائماً أكبر من أكبرها أو مساوياً له.

حلّل كل عدد إلى عوامله الأولية. مثال 12 و18: العدد 12 = 2² × 3، والعدد 18 = 2 × 3².

للقاسم المشترك الأكبر: خذ العوامل المشتركة بأصغر أُسّ لكل منها. المشترك هنا 2 و3، وأصغر أُسّ للعدد 2 هو 1 وللعدد 3 هو 1، فيكون GCD = 2 × 3 = 6.

وللمضاعف المشترك الأصغر: خذ كل العوامل الظاهرة بأكبر أُسّ لكل منها. أكبر أُسّ للعدد 2 هو 2 وللعدد 3 هو 2، فيكون LCM = 2² × 3² = 36.

وهناك علاقة تربطهما تُغنيك عن حساب أحدهما إن عرفت الآخر: حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب قاسمهما المشترك الأكبر في مضاعفهما المشترك الأصغر. تحقّق: 12 × 18 = 216، و6 × 36 = 216 أيضاً.

حين تكبر الأعداد يصبح التحليل إلى عوامل أولية مرهقاً، وخوارزمية إقليدس تحلّ المسألة في خطوات قليلة. الفكرة: اقسم الأكبر على الأصغر، ثم اقسم المقسوم عليه على الباقي، وكرّر حتى يصبح الباقي صفراً — فيكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.

مثال على 48 و18: نقسم 48 على 18 فيكون الناتج 2 والباقي 12. ثم نقسم 18 على 12 فيكون الناتج 1 والباقي 6. ثم نقسم 12 على 6 فيكون الباقي صفراً. إذن القاسم المشترك الأكبر هو 6.

ثلاث خطوات فقط لعددين من منزلتين، والطريقة تصمد مع الأعداد الكبيرة جداً. ولهذا تُستخدم في التشفير والبرمجة حيث تكون الأعداد أكبر من أن تُحلَّل.

الأعداد الأولية: إن كانت الأعداد أولية ولا تشترك في عامل، فقاسمها المشترك الأكبر هو 1 دائماً، ومضاعفها المشترك الأصغر هو حاصل ضربها. مثال: LCM لـ 3 و7 يساوي 21، وGCD لهما يساوي 1.

أكثر من عددين: الطريقة نفسها. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 7 و5 و2 — وكلها أولية ولا تشترك في عامل — هو حاصل ضربها: 7 × 5 × 2 = 70. وقاسمها المشترك الأكبر هو 1.

الكسور: للمضاعف المشترك الأصغر لكسرين خذ المضاعف المشترك الأصغر للبسطين مقسوماً على القاسم المشترك الأكبر للمقامين. مثال على ½ و¾: البسطان 1 و3 ومضاعفهما الأصغر 3، والمقامان 2 و4 وقاسمهما الأكبر 2، فتكون النتيجة 3/2.

تبسيط الكسور هو الاستخدام الأشهر: اقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر فتحصل على أبسط صورة. الكسر 18/24 قاسمه المشترك الأكبر 6، وبالقسمة عليه يصبح 3/4.

وجمع الكسور المختلفة المقامات يحتاج المضاعف المشترك الأصغر للمقامات ليصبح المقام موحّداً. وفي الجدولة الزمنية: إن تكرر حدث كل 4 أيام وآخر كل 6 أيام، فأول يوم يجتمعان فيه هو المضاعف المشترك الأصغر — أي بعد 12 يوماً.

وفي البرمجة يُستخدم القاسم المشترك الأكبر في تبسيط النسب وضبط أبعاد الصور، ويُستخدم المضاعف المشترك الأصغر في مزامنة العمليات الدورية التي تعمل بفترات مختلفة.